■丘成桐

编者案

为甚么学数学的做学人也要学物理？为甚么上课要记条记？动笔做题很紧张吗 ？

克日出书的《真与美 ：丘成桐的数学不雅》一书结集了丘成桐近半个世纪以来品评辩说数学以及人文教育的系列文章
。本报特摘编丘成桐对于学数学若何哺育根基功夫的履历相关内容  ，以飨读者。做学

哺育好根基功夫

做钻研的履历道路是很简短的 ，咱们需要在钻研热潮的做学时候还可能坚持做上来
。良多做钻研的履历人 ，感应自己若不谢世界科研中间，做学便做不出紧张的履历钻研 。可是做学有些人在科研最负盛名的中间做钻研
，也不敢去碰难题的问题 。这种天气有良多差距的原因 ，等一下咱们再逐渐谈，可是我想最要紧的是根基功夫没做好 。

在咱们上中学、大学概况在钻研院做钻研生的时候  ，根基功夫都要赶紧哺育好 。良多学生在年迈的时候不将根基功夫做扎实，之后做钻研时就很难题  。

另一方面，如今巨匠都喜爱谈运用数学 ，着实大部份运用数学的主要工具以及想法都是从根基数学来的
。可是良多学生以为 ，他们既然是学运用数学就不用学根基数学，概况是学运用物理就不用学实际物理了
，这是很大的过错。着实不根基数学以及实际物理的反对于，运用迷信不可能有紧张的突破 。

根基功夫确定要在做学生的时候学好。为甚么呢？由于在这段光阴 ，咱们违心去做习题，而且会大批地实习，这是学习根基功夫的需要历程 。

我信托良多本科结业或者是拿了博士学位的学生 ，做钻研时不会再去做习题，碰着一些比力重大的合计时，也不违心子细地去合计，殊不知良多根基的想法便是从重大的合计概况融会进去的 。一项钻研，最终只看到很重大 、详尽的服从，可是中间可能经由大批的合计。

好的钻研不是久而久之患上来的，每一每一做了100次的合计
，99次都是错的
 ，最后一次才是乐成的。但作者只会宣告乐成的服从，不会见告你他前99次失败的履历。

过错的履历每一每一是很可笑的，良多过错要在做完问题的时候才发现
。有些过错着实是很清晰的，可是看成者形貌自己的服从给他人听的时候 ，不会品评辩说过错的那部份 ，一方面作者可能不知道自己的过错在甚么中间，另一方面爆发过错的中间可能很迷糊，讲不清晰。

着实懂取患上自己若何侵蚀后，咱们的眼睛会愈加璀璨，侵蚀的履历反而会辅助咱们清晰下场，让咱们找到新的倾向向前走。着实可能患上到错的服从 ，已经是很不错了，由于良多初学者连奈何样入手做问题都不知道 。好比说，你给我一个化学识题，该从甚么中间入手我都不脉络  ，由于我不把握化学任何的根基功夫。

要把握两门以上学科

一个好的数学家至少要把握两门以上很根基的功夫 。数学有良多分支，如代数、合成
、多少如许种种差距的措施
，咱们在中学的时候就开始学。有些人喜爱多少多 ，感应代数不甚么意思不想学，概况是学代数的人不想学多少多
，种种想法都有。可是最后咱们发现 ，真正做数学钻研的时候 ，全副措施都需要用到 。

有些人做了数学中某个特殊倾向的问题后，就用全副肉体不断做这方面的使命，不去做其余问题了。少数学者可以为虎傅翼地做出深入的使命  ，可是大部份人却只能在统一个倾向做一些琐碎的使命
，连原本那方面的下场也不见患上做患上好 。

数学不断地睁开 、不断地修正 ，做作界提供给咱们的下场
，不会由于你是多少多学家 
，就不断不断地提供多少多方面的下场 ，而每一每一是与多少多散漫在一起的 。这些问题需要用到其余工具，假如当时不把握这些工具 ，比照其余人就剩余了。

好比 ，数学中有一门很紧张的学科，叫“群浮现理论”。良多高校不教这门课，可是它在良多运用迷信与实际迷信中都要用到 。良多驰名数学家以及物理学家都可能熟练地运用“群浮现理论”来合成下场 。假如咱们不学过这些就剩余了，这是根基功夫不做好的理由 。在中国 ，“群浮现理论”约莫是进了钻研院概况大学后半程才开始学习的
。中国数学家在这方面的磨炼不够 ，因此在运用“群浮现理论”时不如外洋学者
。由此可见，根基学科确定要学好，同时要很早就学。

学数学也要学物理

咱们学数学的人不光要学数学的根基功夫，也要学物理的根基功夫 ，而且在大学时就要学 。对于力学、电磁学以及量子力学 ，咱们都要有确定的清晰，近多少十年物理跟数学越走越近，良少数学下场是物理学提供的  。假如对于这些根基的意见残缺不清晰，咱们清晰问题就比不上懂这方面的学者
，他们可能很快地融会贯串。

实际物理、运用数学或者其余迷信激发良少数学下场 ，它们致使提供了这些下场的直旁不雅法以及处置措施。数学中有良多悬而未决的下场，每一每一由于其余迷信带来的想法而患上到处置。假使咱们始终都不打仗其余迷信，就残缺落伍了。

举个例子 ，代数多少多学近70年来有了长足的睁开。可是到了近30年
，一些古典措施无奈处置的下场，实际物理却辅助咱们看到了从前看不到的中间
。由于自己知识的规模 ，良多代数多少多学家碰着这些难题的时候，不措施接受这些专家的意见。可是物理学家简直指明了处置一些代数多少多下场的倾向
，代数多少多学家又感应很难为情。由于他们不懂物理学 ，不措施去清晰物理学家的想法 ，这是一个使人干扰的天气。

假使咱们年迈时不愿学物理学的根基功
，就不能耐接受这些新的挑战 。

记患上我看过一本Joseph Wolf写的书，在“叙文”里 ，作者谢谢美国芝加哥大学代数学教授Adrian Albert。为甚么谢谢他呢？作者说 ：“Albert教我代数
，使患上我坐下来的时候 ，看到代数的下场不会焦虑 ，使我可能有定夺肠去处置这些代数上的下场。”

咱们的根基功能不能做到如斯，就要看当碰着数学下场时，能不可以坐下来有定夺肠去想措施对于它，我想这是做学识很紧张的历程。咱们看到数学下场时 ，每一每一焦虑患上不知道奈何样办 ，因此就坚持了
，我想巨匠都有这个履历 。

确定要做到看一个问题时 ，纵然是历史上未处置过的下场，你仍是可能坐下来，花光阴想措施去处置它。纵然你不可以处置它 ，你至少要有确定的想法去应答这个下场 ，不会因此焦虑致使坚持 。我想这种磨炼是最紧张的。

当一个精湛的问题泛起的时候，咱们每一每一由于根基功没做好 ，就谢绝接受它，以为这些问题不紧张，这是能耐有缺陷的学者批注自己为甚么不能去做某些下场时最罕有的想法 。服从是 ，“紧张的下场来了  
，却眼睁睁地看着他人处置它，自己却鞭长莫及” 。驰名物理学家泡利就已经说过这样的话 。

爱因斯坦是个重大的物理学家，可是他不懂多少多，他找同砚格罗斯曼辅助，才知道黎曼的紧张使命 ，否则狭义相对于论睁开不进去 。

根基功要从中学开始

磨炼根基功要在中学生、大学生或者钻研生的时候 。奈何样学好根基功呢？无意看完一本书后 ，就将书放在一边，看了两三本书后就以为懂了。着实单看书是不够的，紧张的是做习题 ，由于惟独在做习题的时候，你能耐知道甚么命题你不懂，也懂取患上祖先碰着的难题在哪里 。习题不光在课本里找 ，在上课以及听讲座时也可能找患上到。

良多学生上课的时候不违心做条记 ，30年前不做条记的话根基不可能读任何学科。特意是无意分讲者讲的内容根基不在书籍里，又概况是尚未宣告的
。如今有了电脑利便多了，可是条记仍是紧张的。经由手写的影像比看电脑来患上扎实 。我常感应很怪异为甚么学生不做条记？他以为他懂了 ，着实显明不懂，由于可能连授课的人都还没搞懂 ，听讲的人不违心去做条记 ，也不愿去跟授课的人谈，或者去跟其余教师品评辩说，这是很迷惑的使命。

根基功的另一个磨炼便是要找出自己最不可的中间在哪里。咱们在学习“群浮现理论”的时候，会碰着一大套抽象的实际。单看抽象的实际是不够的 ，在运历时每一每一要知道群展现是奈何样分解的
，假如不可以将它写下来，详尽而抽象的实际对于你一点短处都不。

记患上我的儿子在中学时学多项式的因式分解，教师教了他一大堆奈何样分解整数方程的措施
。他学患上很好，也学了奈何样找根的措施。可是有一次魔难时他便是不知道奈何样做因式分解。我跟他说 ：你显明知道奈何样找根，为甚么不可以做因式分解？次若是他学的时候没想到找根与因式分解是统一件使命。下场就在于磨炼根基功的时候，要想清晰数学命题间的关连，以及为甚么要解这些命题。

动笔做题很紧张

咱们去看一些人写的祖先的学术历史
，会读到良多很详尽的介绍以及品评 。可是假如你自己不履历过这一条路的话，事实上很难清晰难题在甚么中间，及为甚么人家会这样想。要患上到这个履历 ，不光要做习题，还要做比力难的习题。做难题有甚么短处呢？难题每一每一是多少个比力根基的下场的组合
。

我看书的时候，每一每一很快就看完了，感应很欢喜，由于看完了 。可是重新再看 ，仍是感应甚么都不懂。我想巨匠都有这个履历。主要的原因是甚么呢？咱们不学好这个学科，做比力难的问题时
，就会一筹莫展 。

咱们做一些问题的时候 ，每一每一感应似是而非。在脑子概况想 ，以为已经懂了，可能处置了，就一相违心地想这个下场已经处置了 
，于是很快地看完那一本书 。事实上这是诱骗自己，这不是磨炼根基功的措施 。

一个好的问题 ，你理当坐下来 ，用笔写下来，一步一阵势想
，服从会发现良多根基的步骤你根基不弄清晰。当弄清晰的时候，去看你从前需要的定理在哪里、奈何样证实的 ，我想你就会逐渐清晰全部学识的精义在哪里。

以是说 ，动笔去做问题是很紧张的。咱们做大学生时还违心做题 ，每一每一做钻研生时 ，就不会入手去做了，结业之后更不用讲。一个问题在书籍里 ，咱们以为自己懂了，有些是很清晰的，但有些是似是而非的，彷佛差未多少了 ，事实上不是，概况搜罗良多怪异的工具 。咱们确定要入手去做，才知道这些怪异的内容在甚么中间。咱们的根基功扎实了之后 ，就会发现书概况很概况是错的。当可能发现书籍里的过错时 ，你的根基功就不错了 。如今的一些学生不看课外书，连本学科的教科书也不看，很使人悲不雅。

做钻研时 ，自己要去找思绪。单单上课听听
，听完之后不看书，做多少个习题就算了 ，奈何样做都做欠好，由于你不整理好自己的思绪。

我大一念到一半时 ，刚开始懂取患上数学严厉化的历程，感应很欢喜 。从逻辑去看 ，所有数学命题都可能一点一点地推导 ，曩昔有些多少多或者合成上的下场 ，我觉察都可能将它们用逻辑的措施衔接起来，以是很欢喜。

我讲这段履历是甚么原因呢 ？我感应如今良多大学生或者钻研生对于宏不雅的数学并不激情
，只是看到课本上有些题 ，可能做完它就感应很知足，而不去想部份数学 、部份多少多  ，概况部份代数的内容。咱们需要钻研的是甚么使命
、谋求的是甚么工具？思考这些着实并不会花太多光阴，可是你要有一个部份性的想法。部份性的想法黑白要有根基功不可的，就算很琐碎的知识，你也要知道
，之后能耐对于全部学科有一个根基的、宏不雅的意见
 。